Vous cherchez les formules essentielles d’espérance et de variance ? Vous êtes étudiant en probabilités et vous voulez avoir sous la main toutes les formules clés ? Vous préparez un examen et vous avez besoin d’un récapitulatif complet ?
Eh bien, figurez-vous que vous êtes au bon endroit !
Nous avons rassemblé toutes les formules fondamentales que vous devez connaître sur l’espérance, la variance et l’écart-type. Ces outils mathématiques sont au cœur des statistiques et des probabilités, et maîtriser leurs formules vous fera gagner un temps précieux.
Vous êtes prêt à découvrir ce formulaire complet ? Alors, c’est parti !
Définitions et formules de base
Commençons par les bases. L’espérance mathématique E(X) d’une variable aléatoire X représente sa valeur moyenne théorique. Pour une variable aléatoire discrète qui prend les valeurs x₁, x₂, …, xₙ avec les probabilités p₁, p₂, …, pₙ, la formule est :
E(X) = Σ pᵢ × xᵢ
Pour une variable aléatoire continue avec une fonction de densité f(x), on utilise :
E(X) = ∫ x × f(x) dx
La variance Var(X) mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance. Sa définition centrée est :
Var(X) = E[(X – E(X))²]
L’écart-type σ(X) est simplement la racine carrée de la variance :
σ(X) = √Var(X)
Ces trois mesures travaillent ensemble : l’espérance donne le centre, la variance quantifie l’étalement, et l’écart-type exprime cette dispersion dans la même unité que la variable.
Exemple numérique concret
Prenons une variable aléatoire discrète X qui prend les valeurs {-1, 0, 1, 2} avec les probabilités {0.1, 0.3, 0.4, 0.2}.
Calcul de l’espérance :
E(X) = (-1)(0.1) + (0)(0.3) + (1)(0.4) + (2)(0.2) = -0.1 + 0 + 0.4 + 0.4 = 0.7
Pour la variance, nous utiliserons la formule de König-Huygens que nous verrons juste après.
La formule de König-Huygens : votre meilleur ami
La formule de König-Huygens est un raccourci indispensable pour calculer la variance :
Var(X) = E(X²) – [E(X)]²
Cette formule évite de calculer E[(X – E(X))²] directement, ce qui est souvent plus lourd. Elle découle d’un développement algébrique simple :
Var(X) = E[(X – E(X))²] = E[X² – 2X×E(X) + E(X)²] = E(X²) – 2E(X)² + E(X)² = E(X²) – E(X)²
Application à notre exemple
Reprenons notre variable X. Nous devons d’abord calculer E(X²) :
E(X²) = (-1)²(0.1) + (0)²(0.3) + (1)²(0.4) + (2)²(0.2) = 0.1 + 0 + 0.4 + 0.8 = 1.3
Donc Var(X) = 1.3 – (0.7)² = 1.3 – 0.49 = 0.81
Et σ(X) = √0.81 = 0.9
Propriétés essentielles et formules avancées
Les propriétés de l’espérance et de la variance suivent des règles précises qu’il faut connaître par cœur.
Propriétés de l’espérance
L’espérance est linéaire :
- E(aX + b) = a×E(X) + b
- E(X + Y) = E(X) + E(Y) (toujours vrai, même si X et Y ne sont pas indépendantes)
Propriétés de la variance
La variance n’est pas linéaire mais suit ces règles :
- Var(aX + b) = a²×Var(X) (la constante b disparaît)
- σ(aX + b) = |a|×σ(X)
- Pour deux variables : Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2×Cov(X,Y)
- Si X et Y sont indépendantes : Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)
La covariance Cov(X,Y) mesure la liaison linéaire entre deux variables aléatoires :
Cov(X,Y) = E[(X – E(X))(Y – E(Y))] = E(XY) – E(X)E(Y)
Fonction génératrice et moments
Pour une variable aléatoire discrète, la fonction génératrice G_X(t) = E(t^X) permet de retrouver tous les moments :
- E(X) = G’_X(1)
- Var(X) = G »_X(1) + G’_X(1) – [G’_X(1)]²
Le k-ième moment d’une variable aléatoire est E(X^k). Le moment centré d’ordre k est E[(X – E(X))^k].
Estimateurs et correction du biais
En statistiques, l’estimateur naturel de la variance d’un échantillon (x₁, …, xₙ) est :
s² = (1/n) Σ(xᵢ – x̄)² où x̄ est la moyenne empirique
Cet estimateur est biaisé. L’estimateur non biaisé utilise n-1 au dénominateur :
s²_corrigé = [n/(n-1)] × s² = (1/(n-1)) Σ(xᵢ – x̄)²
La variance de la moyenne empirique vaut σ²/n, ce qui explique pourquoi la précision augmente avec la taille de l’échantillon.
Calculs pratiques avec Python
Voici un code Python simple pour calculer espérance et variance :
pythonimport numpy as np# Données : valeurs et probabilitésvaleurs = [-1, 0, 1, 2]probas = [0.1, 0.3, 0.4, 0.2]# Espéranceesperance = sum(vp for v, p in zip(valeurs, probas))# E(X²)e_x_carre = sum(v2p for v, p in zip(valeurs, probas))# Variance (König-Huygens)variance = e_x_carre – esperance2print(f’E(X) = {esperance}, Var(X) = {variance}’)
Ces formules et propriétés forment la boîte à outils indispensable pour résoudre tous les exercices de probabilités. La formule de König-Huygens reste votre meilleur allié pour les calculs de variance, tandis que la linéarité de l’espérance simplifie considérablement les calculs avec des combinaisons de variables aléatoires.
